Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp BC$. b) Đúng: $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ và $AC\perp BD$ (hai đường chéo vuông của hình vuông $ABCD$) nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. c) Sai: tọa hóa $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A^{\prime }(0,0,1)$: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1,0,-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$, $\cos =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$. d) Đúng: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel AC$; mà $AC\perp BD$ và $AC\perp D{D}^{\prime }$ nên $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra $MN\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $D{D}^{\prime }\perp BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ và $AC\perp BD$ nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa được $\cos (\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{AC})=1/2$, góc bằng $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AC$ và $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $MN\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.