(2,0 điểm) Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp với đáy là hình chữ nhật, mặt bên là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác là tam giác đều. a) Tính độ dài cạnh theo . b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác đến trọng tâm tam giác . Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo .
(2,0 điểm) Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp với đáy là hình chữ nhật, mặt bên là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác là tam giác đều. a) Tính độ dài cạnh theo . b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác đến trọng tâm tam giác . Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Vì SAB vuông cân tại S có cạnh huyền AB = 2a nên SA = SB = a√2, đường cao từ S xuống AB bằng a. Gọi H là trung điểm AB, do (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD), SH = a. Tam giác SCD đều cạnh CD = AB = 2a nên SD = 2a. Tam giác AHD vuông tại A (vì AD ⊥ AB): HD² = AD² + AH² = AD² + a². Tam giác SHD vuông tại H: SD² = SH² + HD² ⟹ 4a² = a² + AD² + a² ⟹ AD² = 2a² ⟹ AD = a√2.
b) Đặt hệ trục: A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0; a√2; 0), C(2a; a√2; 0), S(a; 0; a). Trọng tâm G₁ của SAB: (a; 0; a/3); trọng tâm G₂ của SCD: (5a/3; 2a√2/3; a/3). Sợi dây ngắn nhất trên bề mặt đi qua hai mặt (SAB) → (SAD) → (SCD) (hoặc đối xứng qua (SBC)). Cân bằng mặt phẳng (SAB) với (SAD) theo cạnh SA rồi với (SCD) theo cạnh SD: trong mặt phẳng đã trải phẳng, lấy S(0;0), A(a√2; 0), B(0; a√2) nên G₁ = (a√2/3; a√2/3); D = (a√2; −a√2) (trải sang phía đối diện qua SA); C là điểm dựng tam giác đều trên SD về phía đối diện A: C = a√2((1−√3)/2; −(1+√3)/2). Khi đó G₂ = (C + D)/3 = a√2/3·((3−√3)/2; −(3+√3)/2). Đoạn thẳng G₁G₂ cắt SA tại điểm thuộc đoạn SA và cắt SD tại điểm thuộc đoạn SD nên đường đi hợp lệ. Độ dài: ΔG = a√2/3·((1−√3)/2; −(5+√3)/2), nên d² = (2a²/9)·[(1−√3)² + (5+√3)²]/4 = (a²/18)(32 + 8√3) = 4a²(4+√3)/9. Vậy d = 2a√(4+√3)/3 ≈ 1,596a, nhỏ hơn phương án đi qua mặt đáy (cho a(√2 + 1/3 + √3/3) ≈ 2,324a). Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) AD = a√2; b) 2a√(4+√3)/3.
a) Vì SAB vuông cân tại S có cạnh huyền AB = 2a nên SA = SB = a√2, đường cao từ S xuống AB bằng a. Gọi H là trung điểm AB, do (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD), SH = a. Tam giác SCD đều cạnh CD = AB = 2a nên SD = 2a. Tam giác AHD vuông tại A (vì AD ⊥ AB): HD² = AD² + AH² = AD² + a². Tam giác SHD vuông tại H: SD² = SH² + HD² ⟹ 4a² = a² + AD² + a² ⟹ AD² = 2a² ⟹ AD = a√2.
b) Đặt hệ trục: A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0; a√2; 0), C(2a; a√2; 0), S(a; 0; a). Trọng tâm G₁ của SAB: (a; 0; a/3); trọng tâm G₂ của SCD: (5a/3; 2a√2/3; a/3). Sợi dây ngắn nhất trên bề mặt đi qua hai mặt (SAB) → (SAD) → (SCD) (hoặc đối xứng qua (SBC)). Cân bằng mặt phẳng (SAB) với (SAD) theo cạnh SA rồi với (SCD) theo cạnh SD: trong mặt phẳng đã trải phẳng, lấy S(0;0), A(a√2; 0), B(0; a√2) nên G₁ = (a√2/3; a√2/3); D = (a√2; −a√2) (trải sang phía đối diện qua SA); C là điểm dựng tam giác đều trên SD về phía đối diện A: C = a√2((1−√3)/2; −(1+√3)/2). Khi đó G₂ = (C + D)/3 = a√2/3·((3−√3)/2; −(3+√3)/2). Đoạn thẳng G₁G₂ cắt SA tại điểm thuộc đoạn SA và cắt SD tại điểm thuộc đoạn SD nên đường đi hợp lệ. Độ dài: ΔG = a√2/3·((1−√3)/2; −(5+√3)/2), nên d² = (2a²/9)·[(1−√3)² + (5+√3)²]/4 = (a²/18)(32 + 8√3) = 4a²(4+√3)/9. Vậy d = 2a√(4+√3)/3 ≈ 1,596a, nhỏ hơn phương án đi qua mặt đáy (cho a(√2 + 1/3 + √3/3) ≈ 2,324a). Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) AD = a√2; b) 2a√(4+√3)/3.