Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, cạnh $AB=2$, $AC=2$, $SA=1$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD có AB=2, AC=2 nên nửa đường chéo OA=OC=1, do đó OB=√(AB²−OA²)=√(4−1)=√3, tức BD=2√3. a) Diện tích hình thoi = (AC·BD)/2 = (2·2√3)/2 = 2√3 → Đúng. b) Vì AC⊥BD và SA⊥(ABCD) nên SA⊥BD, suy ra BD⊥(SAC), mà SO⊂(SAC) nên SO⊥BD, góc bằng 90° → Đúng. c) Tọa hóa: O(0,0,0), A(−1,0,0), C(1,0,0), D(0,−√3,0), S(−1,0,1), M trung điểm SD = (−1/2,−√3/2,1/2). Khoảng cách từ M đến AC (trục Ox) là √(3/4+1/4)=1, nên S(MAC) = ½·AC·d(M,AC) = ½·2·1 = 1 ≠ 3/4 → Sai. d) Hình chiếu của M lên đáy là M' trung điểm OD, d(M',AC)=√3/2, MM'=1/2. Góc nhị diện [M,AC,D] là góc giữa MM' và M'D (cùng vuông góc AC tại M'), nên tan = (1/2)/(√3/2) = 1/√3, góc bằng 30° ≠ 60° → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD=2√3 nên S = (2·2√3)/2 = 2√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥(SAC) nên SO⊥BD, góc bằng 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
S(MAC) = ½·2·1 = 1 ≠ 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan góc nhị diện = (1/2)/(√3/2) = 1/√3, góc bằng 30° ≠ 60°.