An sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là 20cm, 30cm, 60cm. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sàn, An để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sàn. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sàn phẳng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật. (1,5 điểm)

Giả sử $AB=20\text{cm},AC=30\text{cm},AD=60\text{cm}$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C,D$ lên mặt sàn và $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc của các đường thẳng $AB,AC,AD$ với mặt sàn. (Quy ước: khi cạnh hình hộp song song với mặt sàn thì ta coi góc bằng 0).
Khi đó $S=4(MN+MP+MQ)=40(2\cos \alpha +3\cos \beta +6\cos \gamma )$ (0,25 điểm).
TH1: Có đúng hai góc bằng 0. Giả sử $\beta =\gamma =0$. Khi đó $\alpha =90^{\circ }\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =1$.
TH2: Có đúng một góc bằng 0. Giả sử $\gamma =0$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AB,AC$ với mặt phẳng sàn.

Do $AEF$ vuông tại $A$ nên ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =1$ (0,25 điểm).
TH3: Cả ba góc $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ đều nhỏ hơn $90^{\circ }$. Gọi $E$, $F$, $K$ lần lượt là giao điểm của $AB$, $AC$, $AD$ với mặt phẳng sàn; $H$ là trực tâm tam giác $EFK$. Khi đó ta có
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{F}^2}+\frac{1}{A{K}^2}\Rightarrow \frac{A{H}^2}{A{E}^2}+\frac{A{H}^2}{A{F}^2}+\frac{A{H}^2}{A{K}^2}=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =1$$

Như vậy, với mọi trường hợp ta luôn có
$${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =2.$$ (0,25 điểm)
Đặt $\cos \alpha =x$; $\cos \beta =y$; $\cos \gamma =z:\{\begin{array}{l}0\le x,y,z\le 1\\ x^2+y^2+z^2=2\end{array}$.
Khi đó $2x+3y\le \sqrt{13\left(x^2+y^2\right)}\Rightarrow S\le 40\left(\sqrt{13\left(2-z^2\right)}+6z\right)$.
Xét $f(z)=\sqrt{26-13z^2}+6z$, $0\le z\le 1$.
$$f^{\prime }(z)=6-\frac{13z}{\sqrt{26-13z^2}}$$
$$f^{\prime }(z)=0\iff 6\sqrt{26-13z^2}=13z\iff z=\frac{6\sqrt{2}}{7}\text{(KTM)}$$
$$f(0)=\sqrt{26};f(1)=6+\sqrt{13}\Rightarrow \max S=240+40\sqrt{13}\iff x=\frac{2\sqrt{13}}{13};y=\frac{3\sqrt{13}}{13};z=1$$ (0,25 điểm)
Ta có $2x+3y+6z\ge 3(x+y)+6z-1\ge 3\left(2-z^2\right)+6z-1=5+z(6-z)\ge 5$.
$$\min S=200\iff x=y=1;z=0.$$ (0,5 điểm)