Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang cân, $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Cạnh bên $SA=2\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$, $CD$ và cosin góc phẳng nhị diện $[B;SC;D]$. (2,5 điểm)

Gọi $O$ là trung điểm $AD$, $I=AC\cap BO$. Kẻ $AH\perp SI$. Ta có:
$d(SB;CD)=d(D;(SBO))=d(A;(SBO))=AH$ (1,0 điểm).

Tam giác $OAB$ đều nên $AI=\sqrt{3}$.
Khi đó $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{A{S}^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ (0,5 điểm).
Vậy $d(SB;CD)=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Ta có $\{\begin{array}{l}DC\perp AC\\ DC\perp SA\end{array}\Rightarrow DC\perp (SAC)\Rightarrow (SCD)\perp (SAC)$ (0,25 điểm).
$\Rightarrow$ Số đo của góc nhị diện $[D;SC;A]$ là $90^{\circ }$.
Kẻ $AK\perp SC$, $AE\perp BC$, $AF\perp SE$.
Ta có $\{\begin{array}{l}CE\perp AE\\ CE\perp SA\end{array}\Rightarrow CE\perp (SAE)\Rightarrow CE\perp AF$ (0,25 điểm).
Mà $AF\perp SE\Rightarrow AF\perp (SEC)\Rightarrow AF\perp SC$.
Lại có $AK\perp SC\Rightarrow SC\perp (AKF)$. Do đó $\widehat{AKF}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[B;SC;A]$.
Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[B;SC;D]$. Khi đó $\alpha =\widehat{AKF}+90^{\circ }$.
$\cos \alpha =-\sin \widehat{AKF}=-\frac{AF}{AK}$ (0,25 điểm).
$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{S}^2}\Rightarrow AK=2\sqrt{2}$.
$\frac{1}{A{F}^2}=\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{S}^2}\Rightarrow AF=\frac{2\sqrt{6}}{3}$. Từ đó suy ra $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$ (0,25 điểm).