Một cuộc khảo sát xã hội học được tiến hành trên một nhóm gồm 70 người. Những người tham gia được phân loại vào 3 nhóm dựa trên mức chi tiêu hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) như bảng sau:

Nhóm	[10;20)	[20;30)	[30;40)
Tần số	$n_1$	$n_2$	$n_3$

Biết rằng, ba số $n_1,n_2,n_3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tứ phân vị thứ nhất của toàn bộ dữ liệu 70 người là $Q_1=23,75$ (triệu đồng). Từ 70 người đã được khảo sát, chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 7 người. Hãy tính xác suất để mức chi tiêu trung bình của 7 người được chọn (tính theo mức chi tiêu đại diện) đúng bằng mức chi tiêu trung bình của 70 người ban đầu. (1,5 điểm)

Ta có $n_1+n_2+n_3=70$.
Do $Q_1\in [20;30)\Rightarrow Q_1=20+\frac{\frac{70}{4}-n_1}{n_2}.10=23,75\iff n_2=\frac{140-8n_1}{3}$ (0,25 điểm).
Do $n_1,n_2,n_3$ theo thứ tự là cấp số nhân nên $n_1.n_3=n_2^2$.
Từ đó $n_3=\frac{70+5n_1}{3}\Rightarrow \frac{n_1.(70+5n_1)}{3}={\left(\frac{140-8n_1}{3}\right)}^2\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{n}_1=10\\ n_1=40\end{array}\right]$.
Với $n_1=40$ thì $n_2=-60$ (loại).
Với $n_1=10$ thì $n_2=20,n_3=40$.
Vậy, số người trong mỗi nhóm lần lượt là 10 người, 20 người, 40 người (0,25 điểm).
Mức chi tiêu trung bình của 70 người là $\overline{x}=\frac{10\cdot 15+20\cdot 25+40\cdot 35}{70}=\frac{205}{7}$.
Với phép thử chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 7 người, số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{70}^7$.
Gọi $k_1,k_2,k_3$ lần lượt là số người được chọn từ nhóm 1, 2, 3 trong mẫu 7 người
$(k_1,k_2,k_3\in \mathbb{N})$ sao cho mức chi tiêu trung bình của mẫu bằng $\frac{205}{7}$.
Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{k}_1+k_2+k_3=7\\ \frac{15k_1+25k_2+35k_3}{7}=\frac{205}{7}\end{array}\iff \{\begin{array}{ll}{k}_1+k_2+k_3=7& (1)\\ 3k_1+5k_2+7k_3=41& (2)\end{array}$ (0,25 điểm).
Từ (1), suy ra $k_1=7-k_2-k_3$. Thế vào (2) ta được:
$$3(7-k_2-k_3)+5k_2+7k_3=41\Rightarrow k_2+2k_3=10\Rightarrow \{\begin{array}{l}{k}_2=10-2k_3\\ k_1=k_3-3\end{array}\Rightarrow 3\le k_3\le 5$$
Nếu $k_3=3\Rightarrow k_2=4;k_1=0$.
Nếu $k_3=4\Rightarrow k_2=2;k_1=1$.
Nếu $k_3=5\Rightarrow k_2=0;k_1=2$. (0,25 điểm)
TH1: (0; 4; 3): Có $C_{20}^4\cdot C_{40}^3$.
TH2: (1; 2; 4): Có $C_{10}^1\cdot C_{20}^2\cdot C_{40}^4$.
TH3: (2; 0; 5): Có $C_{10}^2\cdot C_{40}^5$. (0,25 điểm)
Suy ra $P=\frac{C_{20}^4\cdot C_{40}^3+C_{10}^1\cdot C_{20}^2\cdot C_{40}^4+C_{10}^2\cdot C_{40}^5}{C_{70}^7}\approx 0,21$ (0,25 điểm).