Bác An làm nghề gỗ muốn thiết kế một chiếc đàn bằng gỗ như hình vẽ bên. Chiếc đàn có dạng là hình đa diện gồm có 8 đỉnh $A,B,C,D,M,N,P,Q$ ; hai mặt $(ABCD)$ và $(MNPQ)$ là hai hình vuông và nằm trên hai mặt phẳng song song, hình chiếu vuông góc của $M,N,P,Q$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Biết $MAB$ là tam giác đều cạnh 6 dm, hỏi thể tích của chiếc đàn đó bằng bao nhiêu deximet khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì MAB đều cạnh 6 nên AB = 6, tức ABCD là hình vuông cạnh 6 (diện tích $S_1=36$). Hình chiếu của M, N, P, Q là trung điểm các cạnh nên MNPQ là hình vuông cạnh $6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$, diện tích $S_2=18$. Chiều cao giữa hai mặt phẳng song song: tam giác MAB đều cạnh 6, M cách đều A, B với MA = 6, khoảng cách từ M đến AB là $\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$, nên $h=3\sqrt{3}$. Thể tích khối đa diện có hai mặt đáy song song (công thức Simpson/prismatoid): $V=\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S_m)$ với $S_m$ diện tích thiết diện trung bình. Đặt tọa độ $A(0;0;0),B(6;0;0),C(6;6;0),D(0;6;0)$, $M(3;0;h),N(6;3;h),P(3;6;h),Q(0;3;h)$. Thiết diện trung bình có đỉnh là trung điểm của AM, BN, CP, DQ: $(1,5;0),(6;1,5),(4,5;6),(0;4,5)$ – là hình vuông cạnh $\sqrt{4,5^2+1,5^2}=\sqrt{22,5}$, nên $S_m=22,5$. Vậy $V=\frac{3\sqrt{3}}{6}(36+18+4\cdot 22,5)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 144=72\sqrt{3}\approx 124,7\approx 125$ dm³.