Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1;4;0)$ ; $B(2;-1;-3)$ ; $C(-1;3;5)$ và điểm $D(4;0;1)$ . Điểm $M$ thay đổi trên $(Oyz)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overline{MA}+\overline{MB}-2\overline{MC}-8\overline{MD}\right|$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overline{MA}+\overline{MB}-2\overline{MC}-8\overline{MD}=(A+B-2C-8D)-8M$ (tính theo toạ độ điểm, vì hệ số các $\overline{M}$ là $1+1-2-8=-8$). Với $A(1;4;0),B(2;-1;-3),C(-1;3;5),D(4;0;1)$: $A+B-2C-8D=(3;3;-3)+(2;-6;-10)+(-32;0;-8)=(-27;-3;-21)$. Vậy biểu thức cần xét là $\left|(-27;-3;-21)-8\overline{OM}\right|=8\left|M-P\right|$ với $P=\left(\frac{27}{8};\frac{3}{8};\frac{21}{8}\right)$. Vì $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oyz)$, $|MP|$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $P$ lên $(Oyz)$, khi đó $|MP|=x_P=\frac{27}{8}$. Giá trị nhỏ nhất cần tìm là $8\cdot \frac{27}{8}=27$.