Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(2;-2;1)$, $C(-1;-2;-3)$

a) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CM}$.

b) Xác định điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Tính chu vi và diện tích của hình bình hành (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Cho A(1;2;3), B(2;-2;1), C(-1;-2;-3).

a) Gọi M(x;y;z). Ta có:
- $\overrightarrow{AM}=(x-1;y-2;z-3)$
- $\overrightarrow{AB}=(1;-4;-2)$ nên $2\overrightarrow{AB}=(2;-8;-4)$
- $\overrightarrow{CM}=(x+1;y+2;z+3)$ nên $3\overrightarrow{CM}=(3x+3;3y+6;3z+9)$

Điều kiện $\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CM}$:
$$(x+1;y-10;z-7)=(3x+3;3y+6;3z+9)$$
Suy ra:
- $x+1=3x+3\Rightarrow x=-1$
- $y-10=3y+6\Rightarrow y=-8$
- $z-7=3z+9\Rightarrow z=-8$

Vậy $M(-1;-8;-8)$.

b) ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$:
$$\overrightarrow{BC}=C-B=(-3;0;-4)$$
$$D=A+\overrightarrow{BC}=(1-3;2+0;3-4)=(-2;2;1)$$
Kiểm tra: $\overrightarrow{DC}=C-D=(1;-4;-2)=\overrightarrow{AB}$ ✓. Vậy $D(-2;2;1)$.

Chu vi:
- $AB=\sqrt{1^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{21}\approx 4,58$
- $BC=\sqrt{(-3{)}^2+0^2+(-4{)}^2}=5$

Chu vi $=2(\sqrt{21}+5)\approx 2(4,5826+5)\approx 19,17$ (đơn vị độ dài).

Diện tích $=|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}|$:
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -4& -2\\ -3& 0& -4\end{array}\right|=(16;10;-12)$$
$$S=\sqrt{16^2+10^2+(-12{)}^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\approx 22,36$$

Kết luận: $M(-1;-8;-8)$; $D(-2;2;1)$; chu vi $\approx 19,17$; diện tích $\approx 22,36$.