Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$;

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6 (trang 24): Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Theo quy tắc thương:
$$y^{\prime }=\frac{(-4x+3)(1-x)-(-2x^2+3x)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{(4x^2-7x+3)+(-2x^2+3x)}{(1-x{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(1-x{)}^2}.$$

Tiếp tục lấy đạo hàm:
$$y^{\prime \prime }=\frac{(4x-4)(1-x{)}^2-(2x^2-4x+3)\cdot 2(1-x)\cdot (-1)}{(1-x{)}^4}=\frac{(4x-4)(1-x)+2(2x^2-4x+3)}{(1-x{)}^3}.$$

Tử số: $(4x-4)(1-x)=-4x^2+8x-4$; cộng $4x^2-8x+6$ được $2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}.$$

Đặt $u=x^2+2x+3$, khi đó $y^{\prime }=(x+1)u^{-1/2}$:
$$y^{\prime \prime }=u^{-1/2}+(x+1)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)u^{-3/2}\cdot (2x+2)=\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}.$$

Tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.