Biết đồ thị hàm số $y=a^x$ và đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ cắt nhau tại điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2$.

Điều kiện xác định: $a,b>0;a,b\ne 1$. Vì đồ thị hàm số $y=a^x$ và đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ cắt nhau tại điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$ nên điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=a^x$ và đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$.
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2=a^{\frac{1}{2}}\\ 2={\log }_b\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b^2=\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\Rightarrow T=a^2+2b^2=4^2+2{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=17.$$
Vậy giá trị của biểu thức bằng 17.