Câu 1: Hai đội tuyển $A$ và $B$ tham gia giải bóng bàn. Mỗi đội có $7$ người đã được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội $A$ đấu với người thứ nhất của đội $B$ và người thua sẽ bị loại. Sau đó, người chiến thắng đấu tiếp với người thứ hai của đội kia, các trận thi đấu tiếp theo diễn ra tương tự. Cuộc thi đấu kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của $1$ đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi có bao nhiêu cách diễn ra cuộc thi đấu?

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 14), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $3432$.

Mỗi đội có 7 người, thứ tự thi đấu đã cố định. Mỗi trận loại đúng 1 người của một đội. Ta mã hóa mỗi trận bởi chữ cái của đội thắng: $A$ nếu đội $A$ thắng, $B$ nếu đội $B$ thắng. Cuộc thi kết thúc khi một đội thắng đủ 7 trận (tức là loại hết 7 người của đối phương).

Nếu đội $A$ thắng chung cuộc, trận cuối cùng phải là trận thắng thứ 7 của đội $A$. Trước trận cuối cùng, đội $A$ đã thắng 6 trận và đội $B$ thắng $k$ trận ($k\in \{0,1,2,\dots ,6\}$). Số cách ứng với mỗi $k$ là $C_{6+k}^k$.

Tổng số cách để đội $A$ thắng chung cuộc là:
${\sum }_{k=0}^6{C}_{6+k}^k=C_{13}^6=1716.$

Do tính đối xứng, số cách để đội $B$ thắng chung cuộc cũng bằng $1716$.

Vậy tổng số cách diễn ra cuộc thi là: $1716+1716=3432$ cách.

Đáp số: 3432.