Câu 10. Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(1;+\infty )$ và ${\log }_{\sqrt{a}}^{2}b+{\log }_{b}c\cdot {\log }_b\left(\frac{c^2}{b}\right)+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0412, trang 5), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án A.

Đặt $x={\log }_{a}b>0$ và $y={\log }_{b}c>0\Rightarrow {\log }_{a}c=xy$.
Phương trình đã cho trở thành $(2x{)}^2+y(2y-1)+9xy=4x\iff 4x^2+9xy+2y^2-4x-y=0\iff (4x+y)(x+2y-1)=0$.
Vì $x>0,y>0$ nên $4x+y>0$, suy ra $x+2y=1$, hay ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2=1$.