Câu 5. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-10;10)$ để đồ thị hàm số $h(x)=\left|f^2(x)+f(x)+m\right|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0412, trang 5), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án C.

Từ đồ thị, hàm số bậc ba $y=f(x)$ có $2$ điểm cực trị $x=1,x=3$ với $f(3)=0,f(0)=0\Rightarrow f(x)=ax(x-3{)}^2$ ($a>0$).
Hàm số $g(x)=f^2(x)+f(x)+m$ có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)[2f(x)+1]$. Vì $f(x)\ge 0$ tại điểm cực tiểu $x=3$ ($f(3)=0$) nên phương trình $f(x)=-\frac{1}{2}$ chỉ có $1$ nghiệm đơn, suy ra $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.
Để $h(x)=|g(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $g(x)=0$ chỉ có nghiệm đơn trùng hoặc không làm tăng số điểm cực trị khi $m\ge 0$. Với $m\in (-10;10)$ nguyên, $m\in \{1;2;\dots ;9\}$ (hoặc $m\in \{0;1;\dots ;8\}$), có $9$ giá trị nguyên.