Câu 19THPT#Toán 12#Ứng dụng tích phân tính thể tích
Thuộc đề: Đề thi thử TN THPT 2026 môn Toán lần 3 trường THPT Lê Hồng Phong – Thái Nguyên (Mã đề 0104)Câu 3. Để làm một chân đế để trang trí, người ta thiết kế chân đế như sau: Lấy một khối gỗ dạng hình chóp cụt tứ giác đều với độ dài cạnh đáy nhỏ là , cạnh đáy lớn là , chiều cao . Sau đó khoét các mặt bên sao cho hình thu được vật thể có dạng như sau: Lấy một mặt cắt bất kì song song với đáy ta được mặt cắt là một “tứ giác cong” , trong đó các đỉnh là các giao điểm của mặt cắt lần lượt với các cạnh bên của hình chóp cụt ban đầu, các cung là các đường có dạng parabol tiếp xúc với các đường chéo của hình vuông tại các đỉnh của hình vuông đó (xem hình dưới). Thể tích của vật là bao nhiêu ? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3. Để làm một chân đế để trang trí, người ta thiết kế chân đế như sau: Lấy một khối gỗ dạng hình chóp cụt tứ giác đều với độ dài cạnh đáy nhỏ là , cạnh đáy lớn là , chiều cao . Sau đó khoét các mặt bên sao cho hình thu được vật thể có dạng như sau: Lấy một mặt cắt bất kì song song với đáy ta được mặt cắt là một “tứ giác cong” , trong đó các đỉnh là các giao điểm của mặt cắt lần lượt với các cạnh bên của hình chóp cụt ban đầu, các cung là các đường có dạng parabol tiếp xúc với các đường chéo của hình vuông tại các đỉnh của hình vuông đó (xem hình dưới). Thể tích của vật là bao nhiêu ? (Làm tròn đến hàng đơn vị).


Đáp án chính thức: 498
Hướng dẫn giải chi tiết
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 3 (Phần III) có đáp số là .
Xét một mặt cắt song song với đáy là hình vuông cạnh .
Diện tích phần bị khoét ở mỗi phía tương ứng với phần nằm giữa cạnh hình vuông và cung parabol. Chọn hệ trục sao cho cạnh trên có phương trình , cung parabol có dạng .
Diện tích phần bị khoét phía trên là: .
Tổng diện tích bị khoét ở cả 4 phía là .
Diện tích mặt cắt phần còn lại là: , bằng đúng diện tích mặt cắt hình vuông ban đầu.
Do đó, thể tích của vật thể bằng thể tích hình chóp cụt đều ban đầu:
.
Suy ra thể tích vật thể là: .
Xét một mặt cắt song song với đáy là hình vuông cạnh .
Diện tích phần bị khoét ở mỗi phía tương ứng với phần nằm giữa cạnh hình vuông và cung parabol. Chọn hệ trục sao cho cạnh trên có phương trình , cung parabol có dạng .
Diện tích phần bị khoét phía trên là: .
Tổng diện tích bị khoét ở cả 4 phía là .
Diện tích mặt cắt phần còn lại là: , bằng đúng diện tích mặt cắt hình vuông ban đầu.
Do đó, thể tích của vật thể bằng thể tích hình chóp cụt đều ban đầu:
.
Suy ra thể tích vật thể là: .