Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$; $H$ là giao điểm của $CN$ với $DM$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$ (Làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $1,59$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;2;0),C(2;2;0)$.
Khi đó $M(1;0;0),N(0;1;0)$.
Đường thẳng $DM$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{DM}=(1;-2;0)$, đi qua $D(0;2;0)$.
Đường thẳng $CN$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CN}=(-2;-1;0)$, đi qua $C(2;2;0)$.
Giao điểm $H=DM\cap CN$ có tọa độ $H\left(\frac{2}{5};\frac{6}{5};0\right)$.
Vì $SH\perp (ABCD)$ và $SH=2\sqrt{3}$ nên $S\left(\frac{2}{5};\frac{6}{5};2\sqrt{3}\right)$.
Vectơ $\overrightarrow{DM}=(1;-2;0)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{8}{5};\frac{4}{5};-2\sqrt{3}\right)$.
Tích có hướng: $[\overrightarrow{DM},\overrightarrow{SC}]=(4\sqrt{3};2\sqrt{3};4)⟹|[\overrightarrow{DM},\overrightarrow{SC}]|=2\sqrt{19}$.
Vectơ $\overrightarrow{DS}=\left(\frac{2}{5};-\frac{4}{5};2\sqrt{3}\right)$.
Ta có $|\overrightarrow{DS}\cdot [\overrightarrow{DM},\overrightarrow{SC}]|=8\sqrt{3}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$ là:
$d=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{57}}{19}\approx 1,5894\approx 1,59$.