Câu 3. Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng để nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đồng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+1,1t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần.
Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ $(t\ge 0)$.

a) Sai. Cây tăng trưởng khi $v(t)>0$: $-0,1t^3+1,1t^2>0\iff t^2\left(-0,1t+1,1\right)>0$ suy ra $t<11$. Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây kéo dài 11 tuần (không phải 12 tuần).

b) Sai. Giá trị lớn nhất của $h(t)=\frac{-t^4}{40}+\frac{11t^3}{30}+20$ trên $[0;11]$ là $h(11)\approx 142$ (cm), không phải 150 cm.

c) Đúng. $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 19,7 trên đoạn $[0;10]$ tại $t=\frac{22}{3}$; khi đó $h\left(\frac{22}{3}\right)\approx 92,3>80$.

d) Đúng. $h(t)=\int v(t)dt=-\frac{1}{40}{t}^4+\frac{11}{30}{t}^3+C$, với $h(0)=20$ suy ra $C=20$, do đó $h(t)=-\frac{1}{40}{t}^4+\frac{11}{30}{t}^3+20$.
a) Cây tăng trưởng khi $v(t)>0$. Xét bất phương trình $-0,1t^3+1,1t^2>0\iff t^2\left(-0,1t+1,1\right)>0$. Suy ra $-0,1t+1,1>0$ nên $t<11$. Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây kéo dài 11 tuần.
b) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của $h(t)=\frac{-t^4}{40}+\frac{11t^3}{30}+20$ với $t\in [0;11]$. Ta có: $h^{\prime }(t)=\frac{-t^3}{10}+\frac{11}{10}{t}^2=\frac{t^2}{10}(-t+11)$. $$h^{\prime }(t)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=11\end{array}\right].$$ Ta thấy $h(0)=20$, $h(11)\approx 142$. Khi đó, $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 142 trên đoạn $[0;11]$. Vậy chiều cao tối đa của cây lúa đó là 142 (cm).
c) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t)=-0,1t^3+1,1t^2$ với $t\in [0;10]$. Ta có $v^{\prime }(t)=-0,3t^2+2,2t=-0,3t\left(t-\frac{22}{3}\right)$. Suy ra $v^{\prime }(t)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=\frac{22}{3}\end{array}\right]$. Ta thấy $v(0)=0$, $v\left(\frac{22}{3}\right)\approx 19,7$, $v(11)=0$. Khi đó, $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 19,7 trên đoạn $[0;10]$ tại $t=\frac{22}{3}$. Ta có $h\left(\frac{22}{3}\right)\approx 92,3>80$. Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn 80 cm.
d) $$h(t)=\int v(t)dt=\int \left(-0,1t^3+1,1t^2\right)dt=-\frac{1}{40}{t}^4+\frac{11}{30}{t}^3+C.$$ Ta có $h(0)=20$. Suy ra $C=20$. Do đó $h(t)=-\frac{1}{40}{t}^4+\frac{11}{30}{t}^3+20$.