Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}$ có đồ thị $(C)$.

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0);(4;+\infty )$ và nghịch biến trên $(0;2);(2;4)$.

b) Đúng. Ta có $y=x+1+\frac{4}{x-2}$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+1)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ $\Rightarrow$ tiệm cận xiên của $(C)$ là $y=x+1$.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

d) Sai. Điều kiện để đường thẳng $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt: $\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>7\end{array}\right]$; do $m$ nguyên và $m\in [0;2025]$ nên có $2025-7=2018$ giá trị (không phải 2024).
a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0);(4;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(0;2);(2;4)$.
b) Ta có $y=f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$. ${\lim }_{x\to +\infty }\left(y-(x+1)\right)={\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{4}{x-2}\right)=0$; ${\lim }_{x\to -\infty }\left(y-(x+1)\right)={\lim }_{x\to -\infty }\left(\frac{4}{x-2}\right)=0$ $\Rightarrow$ Tiệm cận xiên của $(C)$ là đường thẳng $y=x+1$.
c) Hàm số xác định khi $x-2\ne 0\iff x\ne 2$, suy ra tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
d) Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y=m$ là: $$\frac{x^2-x+2}{x-2}=m(x\ne 2)$$ $\iff x^2-(m+1)x+2m+2=0(1)$. Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 $\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }_{(1)}=m^2-6m-7>0\\ 2^2-(m+1)\cdot 2+2m+2\ne 0\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>7\end{array}\right]$. Do $m$ nguyên và $m\in [0;2025]$ nên có $2025-7=2018$ giá trị.