Câu 41 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+(m+2)x^2+(m^2-m-3)x-m^2$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

Câu 41. Chọn đáp án D
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại $n$ điểm phân biệt với $n$ là số nghiệm của phương trình $f(x)=0$
Giải chi tiết:
$$x^3+(m+2)x^2+(m^2-m-3)x-m^2=0$$
$$\iff (x-1)\left[x^2+(m+3)x+m^2\right]=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x^2+(m+3)x+m^2=0(\ast )\end{array}$$
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt $\iff$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
$$\iff \{\begin{array}{l}\Delta =(m+3{)}^2-4m^2>0\\ 1^2+(m+3).1+m^2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3m^2+6m+9>0\\ m^2+m+4\ne 0\end{array}$$
$$\iff m^2-2m-3<0\iff -1<m<3$$
Có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn