Câu 42 (VD): Xét số phức z thỏa mãn $\frac{z+2}{z-2i}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng:

Câu 42. Chọn đáp án B
Phương pháp giải: Gọi $z=a+bi$ , đưa số phức $\frac{z+2}{z-2i}=A+Bi$ , khi đó $\frac{z+2}{z-2i}=A+Bi$ là số thuần ảo $\iff A=0$ . Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
Giải chi tiết:
Gọi $z=a+bi$ ta có:
$$\frac{z+2}{z-2i}=\frac{(a+2)+bi}{a+(b-2)i}=\frac{\left[(a+2)+bi\right]\left[a-(b-2)i\right]}{\left[a+(b-2)i\right]\left[a-(b-2)i\right]}$$
$$=\frac{(a+2)a-(a+2)(b-2)i+abi+b(b-2)}{a^2+(b-2{)}^2}$$
$$=\frac{a^2+2a+b^2-2b}{a^2+(b-2{)}^2}-\frac{(a+2)(b-2)-ab}{a^2+(b-2{)}^2}i$$
Để số trên là số thuần ảo $\Rightarrow$ có phần thực bằng 0 $\Rightarrow a^2+2a+b^2-2b=0$ .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I(-1;1)$ , bán kính $R=\sqrt{(-1{)}^2+1^2-0}=\sqrt{2}$ .