Câu 45 (VD): Cho hàm số $f(x),f(-x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(-x)=\frac{1}{4+x^2}$. Tính $I={\int }_{-2}^{2}f(x)dx$.

Câu 45. Chọn đáp án A

Phương pháp giải: +) Chứng minh $I={\int }_{-2}^{2}f(x)dx={\int }_{-2}^{2}f(-x)dx$.

+) Lấy tích phân từ -2 đến 2 hai vế của $2f(x)+3f(-x)=\frac{1}{4+x^2}$. Tính I.

Giải chi tiết:

Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$.

Đổi cận : $\{\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow t=2\\ x=2\Rightarrow t=-2\end{array}$

$\Rightarrow I=-{\int }_2^{-2}f(-t)dt={\int }_{-2}^{2}f(-x)dx$.

Theo bài ra ta có :

$$2f(x)+3f(-x)=\frac{1}{4+x^2}\iff 2{\int }_{-2}^{2}f(x)dx+3{\int }_{-2}^{2}f(-x)dx={\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2}$$

$$\iff 3I+2I={\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2}\iff I=\frac{1}{5}{\int }_{-2}^2\frac{dx}{4+x^2}$$

Đặt $x=2\tan u$ ta có: $dx=2\frac{1}{{\cos }^{2}u}du=2\left(1+{\tan }^{2}u\right)du$

Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow u=\frac{-\pi }{4}\\ x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{4}\end{array}$

Khi đó ta có $I=\frac{1}{5}\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{2\left(1+u^2\right)du}{4+4{\tan }^{2}u}=\frac{1}{10}\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}du=\frac{1}{10}u{|}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{10}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{20}$