Câu 44 (TH): Cho 4 điểm $A(3;-2;-2);B(3;2;0);C(0;2;1);D(-1;1;2)$. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình là

Câu 44. Chọn đáp án B

Phương pháp giải: + Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ thì có bán kính $R=d\left(I;(P)\right)$ và phương trình mặt cầu là ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2$

+ Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có 1 VTPT là $n=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]$

Giải chi tiết:

+ Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-3;0;1\right);\overrightarrow{BD}=\left(-4;-1;2\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD}\right]=\left(1;2;3\right)$

+ Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B\left(3;2;0\right)$ và có 1 VTPT là $n=\left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD}\right]=\left(1;2;3\right)$ nên phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là

$1(x-3)+2(y-2)+3(z-0)=0\iff x+2y+3z-7=0$

+ Vì mặt cầu $(S)$ tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$ nên bán kính mặt cầu là

$$R=d\left(A;(BCD)\right)=\frac{\left|3+2.(-2)+3.(-2)-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\sqrt{14}$$

Phương trình mặt cầu $(S)$ là ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=14$