Câu 5 (1,5 điểm). Trong một trò chơi bạn Việt có 9 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 9, bạn Nam có 8 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 8, mỗi bạn chọn ra ba tấm bìa rồi sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để được một số gồm ba chữ số. Người thắng cuộc là người có số lớn hơn. Tính xác suất để Việt thắng Nam.

Xét hai trường hợp:
TH 1: Việt chọn được số 9.
Trong trường hợp này số của Việt chắc chắn lớn hơn số của Nam.
Xác suất Việt thắng Nam bằng xác suất Việt chọn được số 9 là: $\frac{C_8^2}{C_9^3}=\frac{1}{3}$.
TH 2: Việt không chọn được số 9.
Xác suất để Việt không chọn được số 9 là $\frac{C_8^3}{C_9^3}=\frac{2}{3}$.
Ta tính xác suất để 2 bạn chọn được cùng số:
- Số cách chọn của hai bạn là: $C_8^3.C_8^3$.
- Số cách để Việt chọn được ba số bất kỳ là $C_8^3$; Ứng với mỗi cách chọn của Việt thì Nam chỉ có một cách chọn để giống Việt nên số cách hai người chọn được số giống nhau là $C_8^3$. Vậy xác suất để 2 bạn chọn được cùng số là $\frac{C_8^3}{C_8^3.C_8^3}=\frac{3!}{\mathrm{8.7.6}}=\frac{1}{56}$.
Trong trường hợp này Việt chọn số cùng tập với Nam nên xác suất Việt chọn được số lớn hơn cũng bằng xác suất Nam chọn được số lớn hơn.
Xác suất để Việt chọn được số lớn hơn là: $\frac{1-\frac{1}{56}}{2}=\frac{55}{112}$.
Do đó xác suất trong trường hợp này là $\frac{2}{3}.\frac{55}{112}=\frac{55}{168}$.
Vậy, xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}+\frac{55}{168}=\frac{37}{56}$.