Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=\sqrt{5}$, các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy ABCD là hình thoi cạnh √3, SB=SC=SD=√3, SA=√5. Đặt BD=q, AC=p với p²+q²=4·3=12. Vì S cách đều B,C,D nên S nằm trên đường vuông góc với (BCD) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Với B(−q/2,0,0), D(q/2,0,0), C(0,c,0), c²=3−q²/4, tâm O'(0,y0,0) với y0=(c²−q²/4)/(2c). Từ SB²=3, SA²=5: SA²−SB²=(c+y0)²−(q²/4+y0²)=2c²−q²/2=6−q²=2 ⟹ q²=4 (BD=2), p²=8 (AC=2√2), c=√2, y0=1/(2√2), R²=9/8, h²=SB²−R²=15/8.

a) ĐÚNG: Hình thoi cho AC⊥BD tại O; SO=(0,y0,h) cũng vuông góc với BD nên BD⊥(SAC), suy ra (SAC)⊥(SBD).

b) SAI: M trung điểm BC, diện tích tam giác CDM = ½|CD×CM| = √2/2, nên V_{S.CDM}=⅓·(√2/2)·√(15/8)=√15/12 ≠ √15/4.

c) SAI: Pháp tuyến hai mặt (SBC),(SCD): n1=(−√15/2, √(15/8), 3/(2√2)), n2=(−√15/2, −√(15/8), −3/(2√2)); cosα=|n1·n2|/(|n1||n2|)=(3/4)/(27/4)=1/9, suy ra sinα=√(1−1/81)=4√5/9 ≈ 0.994 ≠ 4√5/13 ≈ 0.687.

d) SAI: u=CD=(1,−√2,0), v=SM=(−1/2, 1/(2√2), −√(15/8)), w=CS=(0,−3/(2√2),√(15/8)). u×v=(√15/2, √(15/8), −1/(2√2)), |u×v|=√23/2, |w·(u×v)|=√15/2. Khoảng cách d(CD,SM)=(√15/2)/(√23/2)=√345/23 ≈ 0.807 ≠ 3√345/23 ≈ 2.42.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Sai (lưu ý các giá trị trung gian trong lời giải nguồn q²=8/3, cosα=11/27 không chính xác nhưng kết luận đúng/sai từng ý vẫn khớp với đáp án chính thức).
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD (hình thoi) và SO⊥BD nên BD⊥(SAC), do đó (SAC)⊥(SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
V_{S.CDM}=√15/12 ≠ √15/4 (với BD=2, AC=2√2, h²=15/8, diện tích tam giác CDM=√2/2).
c) (AI giải đề cho tôi)
cosα=1/9 nên sinα=4√5/9 ≠ 4√5/13.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(CD,SM)=√345/23 ≈ 0.807 ≠ 3√345/23.