Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (nghiệm kép) và cắt trục tại $x=3$, cực đại $(2;4)$ nên $f^{\prime }(x)=a{x}^2(x-3)$, $f^{\prime }(2)=-4a=4\Rightarrow a=-1$, tức $f^{\prime }(x)=x^2(3-x)$. Vậy $f^{\prime }>0$ với $x<3$ (trừ $x=0$), $f^{\prime }<0$ với $x>3$.
a) $h^{\prime }(x)=f^{\prime }\left(\sqrt{x^2-2}\right)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-2}}$, TXĐ $|x|\ge \sqrt{2}$. Với $x>\sqrt{2}$: $f^{\prime }(t)>0$ khi $t<3\iff x<\sqrt{11}$, nên $h$ đồng biến trên $(\sqrt{2};\sqrt{11})$. Với $x<-\sqrt{2}$: $x<0$, $f^{\prime }(t)>0$ khi $|x|>\sqrt{11}$, nên $h^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-\sqrt{11})$. → Đúng.
b) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2-2x)(2x-2)$; $x^2-2x=0\Rightarrow x=0;2$, $x^2-2x=3\Rightarrow x=-1;3$. Xét dấu: $x=-1$ là điểm cực đại, $x=3$ là điểm cực tiểu; tại $x=0$ và $x=2$ thì $f^{\prime }$ không đổi dấu (nghiệm kép) nên không phải cực trị. Tích các điểm cực trị $=-1\cdot 3=-3\ne 3$. → Sai.
c) $k^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x^2+9=x^2(3-x)-x^2+9=-(x^3-2x^2-9)=-(x-3)(x^2+x+3)$. Vì $x^2+x+3>0$ luôn, nên $k^{\prime }>0$ khi $x<3$, $k^{\prime }<0$ khi $x>3$: $k$ đồng biến trên $[-5;3]$, nghịch biến trên $[3;5]$, GTLN tại $x=3$: $k(3)=f(3)-9+27-2025=f(3)-2007$. → Đúng.
d) Đặt $\phi (x)=f(x)-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}$, ${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{x^2}{2}-x=-x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)>0$ trên $(-2;0)$ nên $\phi$ đồng biến, ${\sup }_{(-2;0)}\phi =\phi (0)=f(0)$ (không đạt). BPT đúng với mọi $x\in (-2;0)\iff f(0)\le {\log }_{1/2}m\iff 0<m\le 2^{-f(0)}$. Đề phát biểu điều kiện ngặt $0<m<2^{-f(0)}$ (thiếu trường hợp bằng) nên khẳng định 'khi và chỉ khi' sai. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f^{\prime }(x)=x^2(3-x)$, ta có $h^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-\sqrt{11})$ và $(\sqrt{2};\sqrt{11})$ nên $h$ đồng biến trên hai khoảng đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $g$ có đúng 2 điểm cực trị $x=-1$ (cực đại) và $x=3$ (cực tiểu); $x=0,2$ không phải cực trị vì $f^{\prime }$ không đổi dấu. Tích bằng $-3\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$k^{\prime }(x)=-(x-3)(x^2+x+3)$ đổi dấu từ + sang − tại $x=3$, nên GTLN trên $[-5;5]$ là $k(3)=f(3)-2007$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\phi (x)=f(x)-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}$ đồng biến trên $(-2;0)$ với $\sup \phi =f(0)$ không đạt được; điều kiện đúng là $0<m\le 2^{-f(0)}$, không phải $0<m<2^{-f(0)}$.