Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, với $I(x;y;z)$: $3(A-I)+2(B-I)-(C-I)=0\Rightarrow 6I=3A+2B-C$. Tọa độ: $x=\frac{3(0)+2(-1)-1}{6}=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{0+2-0}{6}=\frac{1}{3}$, $z=\frac{3(-1)+0-1}{6}=-\frac{2}{3}$. Vậy $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)\ne \left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1\right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow{BC}=(2;-1;1)$, $H=B+t\overrightarrow{BC}=(-1+2t;1-t;t)$. $\overrightarrow{AH}=(-1+2t;1-t;t+1)$ và $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$: $2(-1+2t)-(1-t)+(t+1)=0\Rightarrow 6t-2=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Suy ra $H\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$, khi đó $3a+6b+9c=-1+4+3=6$. ✓

c) Sai. Đối xứng qua $(Oxy)$: $C^{\prime }(1;0;-1)$, nên $m+n+p=0\ne -2$.

d) Sai. Gọi $A_0=(0;0;0)$, $C_0=(1;0;0)$ là hình chiếu của $A,C$ trên $(Oxy)$. Với $P\in (Oxy)$: $AP=\sqrt{P{A}_0^2+1}\le P{A}_0+1$; $CQ=\sqrt{C_0{Q}^2+1}\ge |1-C_{0}Q|$. Do đó $AP-CQ\le P{A}_0+C_{0}Q\le A_0{C}_0+PQ=2$ (bất đẳng thức tam giác), tức $T\le 2$. Tuy nhiên dấu bằng không đạt được: $AP=P{A}_0+1$ yêu cầu $A_0$ nằm giữa $A,P$ tức $P$ trên trục $z$, mà $P\in (Oxy)$ nên $P=A_0$; khi đó $P{A}_0=0$ và $T\le 1$. Vậy $T<2$ với mọi cấu hình, giá trị lớn nhất bằng 2 không tồn tại (chỉ có cận trên đúng bằng 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $I=\frac{3A+2B-C}{6}=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$, khác mệnh đề đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
$H=\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$ thỏa $3a+6b+9c=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(1;0;-1)$ nên $m+n+p=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T\le 2$ nhưng dấu bằng không đạt được vì $AP\le P{A}_0+1$ chỉ xảy ra dấu bằng khi $P=A_0$; do đó max không bằng 2 (chỉ là cận trên).