Cho hàm số $y=h(x)=f^{\prime }(x)$ là hàm số đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 4: $h$ bậc ba, dạng lẻ, cực đại $(-1;3)$, cực tiểu $(1;-3)$, đi qua gốc $O$, nên $h(x)=k{x}^3+px$. Điều kiện $h(1)=3$, $h^{\prime }(-1)=0$ cho $k+p=3$, $3k+p=0$ $\Rightarrow k=\frac{3}{2},p=-\frac{3}{2}$, tức $h(x)=\frac{3}{2}(x^3-3x)$ (kiểm tra $h(-1)=\frac{3}{2}(-1+3)=3$ đúng).

a) $h(2)=\frac{3}{2}(8-6)=3$ → đúng.

b) Phương trình viết được thành $(h(x)-m)(h(x)-m-2)=0$. Để có 4 nghiệm phân biệt cần cả hai phương trình $h(x)=m$ và $h(x)=m+2$ mỗi cái có 3 nghiệm phân biệt, tức $-3<m<3$ và $-3<m+2<3$ $\Rightarrow m\in (-3;1)$. Hai họ nghiệm không trùng nhau vì $m\ne m+2$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0\}$, tổng $=-3\ne 4$ → sai.

c) $g^{\prime }(x)=3x^2\left[h(x^3+1)+3x^3+3\right]$. Với $u=x^3$: $h(u+1)=\frac{3}{2}[(u+1{)}^3-3(u+1)]=\frac{3}{2}(u^3+3u^2-2)$, nên $g^{\prime }(x)=\frac{9}{2}{x}^2\left(u^3+3u^2+2u\right)=\frac{9}{2}{x}^2\cdot u(u+1)(u+2)$. Ba nghiệm phân biệt $u=0,-1,-2$ ứng với $x=0,-1,-\sqrt[3]{2}$, và $g^{\prime }$ đổi dấu tại mỗi nghiệm (gần $x=0$, $g^{\prime }(x)\sim \frac{9}{2}{x}^5$ đổi dấu). Vậy $g$ có 3 điểm cực trị → đúng.

d) $y=\frac{(x-2)(x+1)}{h(x)(h(x)-3)}$. Mẫu số triệt tiêu: $h(x)=0\iff \frac{3}{2}x(x^2-3)=0\iff x=0,x=\pm \sqrt{3}$ (tử tại các điểm này khác 0) → 3 TCĐ $x=0,x=\pm \sqrt{3}$. $h(x)=3\iff x^3-3x-2=0\iff (x-2)(x+1{)}^2=0$: tại $x=2$, mẫu $\approx h(2)h^{\prime }(2)(x-2)=27(x-2)$, tử $\approx 3(x-2)$ nên $y\to \frac{1}{9}$ (điểm khuyết); tại $x=-1$, mẫu $\approx h(-1)h^{\prime }(-1)(x+1)=27(x+1)$, tử $\approx -3(x+1)$ nên $y\to -\frac{1}{9}$ (điểm khuyết). Khi $x\to \pm \infty$, mẫu $\sim \frac{9}{4}{x}^6\to \infty$ nên $y\to 0$: TCN $y=0$. Tổng cộng 4 tiệm cận, không phải 5 → sai.

Kết luận: a) đúng; b) sai; c) đúng; d) sai.
a) Từ đồ thị: $h$ bậc ba lẻ, cực đại $(-1;3)$, cực tiểu $(1;-3)$, nên $h(x)=k{x}^3+px$. $h(1)=3\Rightarrow k+p=3$; $h^{\prime }(-1)=0\Rightarrow 3k+p=0$, suy ra $k=\frac{3}{2},p=-\frac{3}{2}$, tức $h(x)=\frac{3}{2}(x^3-3x)$ (kiểm tra $h(-1)=\frac{3}{2}(-1+3)=3$ đúng). Khi đó $h(2)=\frac{3}{2}(8-6)=3$ → đúng.
b) Phương trình viết được thành $(h(x)-m)(h(x)-m-2)=0$. Để có 4 nghiệm phân biệt cần cả hai phương trình $h(x)=m$ và $h(x)=m+2$ mỗi cái có 3 nghiệm phân biệt, tức $-3<m<3$ và $-3<m+2<3\Rightarrow m\in (-3;1)$. Hai họ nghiệm không trùng nhau vì $m\ne m+2$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0\}$, tổng $=-3\ne 4$ → sai.
c) $g^{\prime }(x)=3x^2\left[h(x^3+1)+3x^3+3\right]$. Với $u=x^3$: $h(u+1)=\frac{3}{2}[(u+1{)}^3-3(u+1)]=\frac{3}{2}(u^3+3u^2-2)$, nên $g^{\prime }(x)=3x^2\cdot \frac{3}{2}\left(u^3+3u^2+2u\right)=\frac{9}{2}{x}^2\cdot u(u+1)(u+2)$ với $u=x^3$. Ba nghiệm phân biệt $u=0,-1,-2$ ứng với $x=0,-1,-\sqrt[3]{2}$; tại mỗi nghiệm $g^{\prime }$ đổi dấu (gần $x=0$, $g^{\prime }(x)\sim \frac{9}{2}{x}^5$ đổi dấu qua $x=0$). Vậy $g$ có 3 điểm cực trị → đúng.
d) $y=\frac{(x-2)(x+1)}{h(x)(h(x)-3)}$ với $h(x)=\frac{3}{2}(x^3-3x)$. Mẫu triệt tiêu: $h(x)=0\iff x=0,x=\pm \sqrt{3}$ (tử tại cả ba điểm khác 0) → 3 TCĐ $x=0,x=\pm \sqrt{3}$. $h(x)=3\iff x^3-3x-2=0\iff (x-2)(x+1{)}^2=0$: tại $x=2$ và $x=\pm$... cụ thể $x=2$ và $x=-1$, tử số cũng triệt tiêu và ${\lim }_{x\to 2}y=\frac{h^{\prime }(2)\text{-}}{}$... tính trực tiếp: gần $x=2$, mẫu $\approx h(2)h^{\prime }(2)(x-2)=27(x-2)$, tử $\approx 3(x-2)$, nên $y\to \frac{1}{9}$ (điểm khuyết); tương tự tại $x=-1$, mẫu $\approx h(-1)h^{\prime }(-1)(x+1)=27(x+1)$, tử $\approx -3(x+1)$, $y\to -\frac{1}{9}$ (điểm khuyết). Khi $x\to \pm \infty$, mẫu $\sim \frac{9}{4}{x}^6\to \infty$ nên $y\to 0$: TCN $y=0$. Tổng cộng 4 tiệm cận, không phải 5 → sai.