Câu 6. Cho $S$ là tập hợp các dãy số có thứ tự gồm $18$ số $(a_1,a_2,\dots ,a_{18})$ với các $a_i$ nhận giá trị trong $\{-1;0;1\}$. Một phần tử của $S$ gọi là tốt nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
- Số đầu tiên khác $0$.
- Tổng các số ở vị trí chẵn bằng $0$ và tổng các số ở vị trí lẻ bằng $0$.

Lấy một dãy số bất kì thuộc $S$. Gọi $p$ là xác suất lấy được dãy tốt. Tính $\frac{3^{18}p}{688}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 6 (Phần III) ghi đáp số là $9217$.

Tính toán chi tiết:
Tổng số dãy thuộc $S$ là $3^{18}$. Ta cần đếm số dãy tốt:
1. Đếm nhóm vị trí chẵn (9 vị trí): Mỗi vị trí nhận giá trị $\{-1,0,1\}$. Để tổng bằng 0, số lượng số 1 phải bằng số lượng số -1. Gọi số lượng số 1 và -1 cùng bằng $k$ ($k\in \{0,1,2,3,4\}$):
Số cách là: ${\sum }_{k=0}^4\frac{9!}{k!k!(9-2k)!}=3139$.
2. Đếm nhóm vị trí lẻ (9 vị trí, $a_1\ne 0$):
- Nếu $a_1=1$, 8 vị trí còn lại có tổng bằng -1.
- Nếu $a_1=-1$, 8 vị trí còn lại có tổng bằng 1.
Số dãy độ dài 8 có tổng bằng 1 là $1016$. Do đó số cách cho nhóm vị trí lẻ là: $2\cdot 1016=2032$.
Số dãy tốt là: $3139\cdot 2032=6378448$.
Xác suất lấy được dãy tốt: $p=\frac{6378448}{3^{18}}⟹\frac{3^{18}p}{688}=\frac{6378448}{688}=9271$.
Bảng đáp án chính thức của kỳ thi ghi nhận số hoán vị $9217$ (nhầm lẫn giữa $9271$ và $9217$). Hệ thống chấp nhận cả hai đáp án $9217$ và $9271$.