Câu 6. Nhà Nam có một ao cá dạng hình chữ nhật $MNPQ$ với chiều dài $MQ=30m$, chiều rộng $MN=24m$. Phần tam giác $QST$ là nơi nuôi ếch, $MS=10m,PT=12m$ (với $S$, $T$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $MQ,PQ$) (xem hình bên dưới).



Nam đứng ở vị trí $N$ câu cá và có thể quăng lưới câu xa $21,4m$. Hỏi lưới câu có thể rơi vào nơi nuôi ếch hay không?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $M(0;0)$, $Q(30;0)$, $N(0;24)$, $P(30;24)$; khi đó $S(10;0)$, $T(30;12)$. Vùng nuôi ếch là tam giác $QST$. Khoảng cách từ $N$ đến tam giác là khoảng cách nhỏ nhất từ $N$ đến 3 đỉnh và 3 cạnh.
- $NS=\sqrt{10^2+24^2}=26$; $NT=\sqrt{30^2+12^2}=\sqrt{1044}\approx 32,3$; $NQ=\sqrt{30^2+24^2}\approx 38,4$.
- Đường thẳng $ST$ qua $S(10;0)$, $T(30;12)$ có phương trình $3x-5y-30=0$. Khoảng cách từ $N(0;24)$: $d=\frac{|3\cdot 0-5\cdot 24-30|}{\sqrt{9+25}}=\frac{150}{\sqrt{34}}\approx 25,7m$. Hình chiếu của $N$ trên $ST$ nằm trong đoạn $ST$ (tham số $t=\frac{88}{544}=\frac{11}{68}\approx 0,162\in [0;1]$), nên đây là điểm gần nhất trên $ST$.
- Các cạnh $QS$, $QT$ nằm trên cạnh ao, khoảng cách từ $N$ đến chúng lần lượt là $NQ\approx 38,4$ và $NT\approx 32,3$ (điểm gần nhất là đỉnh).
Vậy khoảng cách gần nhất từ $N$ đến vùng nuôi ếch là $\approx 25,7m>21,4m$, nên lưới câu không thể rơi vào nơi nuôi ếch.