Câu 60: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

b) $u_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}$

c) $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

d) $u_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 60: Xét tính bị chặn của các dãy số.

a) $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Vì $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nên $u_n=1-\frac{1}{n+1}$. Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có $0<u_n<1$, vậy dãy bị chặn (bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0). Dãy cũng tăng vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$.

b) $u_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$. Với $k\ge 2$: $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, nên $u_n<1+\left(1-\frac{1}{n}\right)<2$. Rõ ràng $u_n\ge 1>0$. Vậy dãy bị chặn: $1\le u_n<2$.

c) $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Vì $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ nên $u_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac{1}{2}$ và $u_n>0$. Vậy dãy bị chặn: $0<u_n<\frac{1}{2}$.

d) $u_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}$. Vì $\frac{1}{k(k+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right)$ nên $u_n=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)<\frac{1}{3}\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{18}$ và $u_n>0$. Vậy dãy bị chặn: $0<u_n<\frac{11}{18}$.

Kết luận: cả bốn dãy a), b), c), d) đều là các dãy bị chặn.