Câu 8. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left(2x^2-mx\right)+\frac{\ln \left(x^2+2024\right)}{x^2-2x-m}$ xác định trên khoảng $(0;3)$.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{ll}2x^2-mx>0& (1)\\ x^2-2x-m\ne 0& (2)\end{array}$ (0,5 điểm)

Để hàm số xác định trên $(0;3)$ thì cả $(1)$ và $(2)$ đều thỏa mãn với mọi giá trị $x\in (0;3)$.

Trên $(0;3)$, ta có: $(1)\iff x(2x-m)>0\iff 2x-m>0\iff x>\frac{m}{2}$ (0,5 điểm)

Do đó, (1) thỏa mãn $\forall x\in (0;3)\iff (0;3)\subset \left(\frac{m}{2};+\infty \right)\iff \frac{m}{2}\le 0\iff m\le 0$.

(2) thỏa mãn $\forall x\in (0;3)\iff$ phương trình $x^2-2x-m=0$ vô nghiệm trên $(0;3)$ hay phương trình $x^2-2x=m$ vô nghiệm trên $(0;3)$. BBT của hàm số $f(x)=x^2-2x$ trên $(0;3)$ như sau:

(0,5 điểm)

Từ BBT ta có: (2) thỏa mãn $\forall x\in (0;3)\iff \left[\begin{array}{c}m\ge 3\\ m<-1\end{array}\right]$. Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m<-1$ (0,5 điểm)