Câu 9. (2,0 điểm) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $3\sqrt{\sin x+\cos x+2}+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+m-1=0$.

Phương trình đã cho $\iff 3\sqrt{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2}+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+m-1=0$. (0,5 điểm)

Đặt $t=\sqrt{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2}>0\Rightarrow \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=t^2-2$, điều kiện: $t\in \left[\sqrt{2-\sqrt{2}};\sqrt{2+\sqrt{2}}\right]$

Khi đó ta có phương trình $t^2+3t-3=-m$ (2)

Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=t^2+3t-3$ trên đoạn $\left[\sqrt{2-\sqrt{2}};\sqrt{2+\sqrt{2}}\right]$.

$y^{\prime }=2t+3=0\iff t=-3/2$

(0,5 điểm)

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình đã cho có nghiệm $\iff$ (2) có nghiệm $t\in \left[\sqrt{2-\sqrt{2}};\sqrt{2+\sqrt{2}}\right]\iff -0,12\le -m\le 5,96\iff -5,96\le m\le 0,12$. (0,5 điểm)

Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-5;-4;-3;-2;-1;0$. Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m