Phương pháp:
Gọi $M\left(0;m;0\right)\in Oy$ . M cách đều 2 điểm A, B $\Rightarrow MA=MB\iff M{A}^2=M{B}^2$ .

Cách giải:
Gọi $M\left(0;m;0\right)\in Oy$ ta có: $\{\begin{array}{l}M{A}^2=1^2+{\left(1+m\right)}^2=1+{\left(1+m\right)}^2\\ M{B}^2=3^2+{\left(1-m\right)}^2+1^2=10+{\left(1-m\right)}^2\end{array}$ .

M cách đều 2 điểm A, B $\Rightarrow MA=MB\iff M{A}^2=M{B}^2\iff 1+(1+m{)}^2=10+(1-m{)}^2$

$\iff m^2+2m+2=m^2-2m+11\iff 4m=9\iff m=\frac{9}{4}.$

$$M\left(0;\frac{9}{4};0\right)$$

Chọn D.