Phương pháp:

+) Ta có: $\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(7-3\sqrt{5}\right)=49-45=4\Rightarrow \sqrt{5}=\frac{4}{7+3\sqrt{5}}$.

+) Đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t từ đó tìm m theo yêu cầu của đề bài.
Cách giải:

Ta có: $\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(7-3\sqrt{5}\right)=49-45=4\Rightarrow 7\sqrt{5}=\frac{4}{7-3\sqrt{5}}$.

$\Rightarrow {\left(7-3\sqrt{5}\right)}^{x^2}+m{\left(7+3\sqrt{5}\right)}^{x^2}=2^{x^2-1}$

$\iff {\left(\frac{4}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{x^2}+m{\left(7+3\sqrt{5}\right)}^{x^2}=\frac{1}{2}.2^{x^2}$

$\iff 2.2^{2x^2}-2^{x^2}.{\left(7+3\sqrt{5}\right)}^2+2m{\left(7+3\sqrt{5}\right)}^{2x^2}=0$

$\iff 2.{\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{2x^2}-{\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^{x^2}+2m=0(\ast )$

Đặt ${\left(\frac{2}{7+3\sqrt{5}}\right)}^x=t\Rightarrow x^2={\log }_{\frac{2}{7+3\sqrt{5}}}t$.

Ta có: $0<\frac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {\log }_{\frac{2}{7+3\sqrt{5}}}t>0\iff 0<t<1$.

$\Rightarrow (\ast )\iff 2t^2-t+2m=0(1)$

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\iff pt(1)$ có hai nghiệm phân biệt $t\in (0;1)$.

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ af(0)>0\\ -\frac{b}{2a}>0\\ 0<-\frac{b}{2a}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-16m>0\\ 4m>0\\ 2(4m+1)>0\\ 0<\frac{1}{2}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<\frac{1}{16}\\ m>0\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\iff 0<m<\frac{1}{16}$.

Chọn A.