Cho $\sin a=\frac{8}{17}$, $\tan b=\frac{5}{12}$ với $\frac{\pi }{2}<a,b<\pi$. Tính $\tan a$, $\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)$, $\tan (a+b)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$, suy ra $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{8}{15}$.

$\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{\pi }{6}+\cos a\sin \frac{\pi }{6}=\frac{8}{17}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ nên $\cos b<0$: $\cos b=-\frac{12}{13}$, $\sin b=\frac{5}{13}$ (kiểm tra $\tan b=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$... thực tế đề cho $\tan b=\frac{5}{12}>0$ mâu thuẫn với $b$ ở góc phần tư thứ II; nếu theo đúng dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$ thì $b$ phải ở góc phần tư thứ III, khi đó $\sin b=-\frac{5}{13}$, $\cos b=-\frac{12}{13}$). Tính theo dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$:
$$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{-\frac{8}{15}+\frac{5}{12}}{1-\left(-\frac{8}{15}\right)\cdot \frac{5}{12}}=\frac{-\frac{7}{60}}{1+\frac{2}{9}}=\frac{-\frac{7}{60}}{\frac{11}{9}}=-\frac{21}{220}.$$

Kết luận: $\tan a=-\frac{8}{15}$; $\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$; $\tan (a+b)=-\frac{21}{220}$. Lưu ý: điều kiện $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ không tương thích với $\tan b=\frac{5}{12}>0$ (dữ kiện đề có sai lệch nhỏ), nhưng kết quả $\tan (a+b)$ chỉ phụ thuộc $\tan b$ nên vẫn xác định.