Cho $\sin a+\cos a=\frac{5}{4}$. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A=\sin a.\cos a$
b) $B=\sin a-\cos a$
c) $C={\sin }^{3}a-{\cos }^{3}a$

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\sin a+\cos a=\frac{5}{4}$, bình phương hai vế: ${\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=\frac{25}{16}$. Vì ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ nên $1+2\sin a\cos a=\frac{25}{16}$, suy ra $\sin a\cos a=\frac{9}{32}$.

a) $A=\sin a\cos a=\frac{9}{32}$.

b) Ta có $(\sin a-\cos a{)}^2=1-2\sin a\cos a=1-\frac{18}{32}=\frac{14}{32}=\frac{7}{16}$, do đó $B=\sin a-\cos a=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$. Vì đề không cho khoảng của $a$ nên không xác định được dấu duy nhất: nếu $a$ thuộc góc phần tư thứ I (với $\sin a>\cos a$) thì $B=\frac{\sqrt{7}}{4}$, ngược lại $B=-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ${\sin }^{3}a-{\cos }^{3}a=(\sin a-\cos a)({\sin }^{2}a+\sin a\cos a+{\cos }^{2}a)=(\sin a-\cos a)\left(1+\frac{9}{32}\right)=(\sin a-\cos a)\cdot \frac{41}{32}$.

Vậy $C=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{41}{32}=\pm \frac{41\sqrt{7}}{128}$ (dấu cùng dấu với $B=\sin a-\cos a$).

Kiểm tra: $\frac{9}{32}\le \frac{1}{2}$ thỏa điều kiện $|\sin a\cos a|\le \frac{1}{2}$; ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=1+2\cdot \frac{9}{32}=\frac{25}{16}$ đúng.