Cho $a$, $b$ là hai số nguyên dương lớn hơn 1. Biết phương trình $a^{x^2+1}=b^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ và phương trình $b^{x^2-1}=(9a{)}^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_3$, $x_4$ thỏa mãn $(x_1+x_2)(x_3+x_4)<3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=3a+2b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế. Phương trình $a^{x^2+1}=b^x$ tương đương $x^2\ln a-x\ln b+\ln a=0$ có hai nghiệm phân biệt khi $(\ln b{)}^2>4(\ln a{)}^2$, tức $b>a^2$ (vì $a,b>1$). Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{\ln b}{\ln a}$. Phương trình $b^{x^2-1}=(9a{)}^x$ tương đương $x^2\ln b-x\ln (9a)-\ln b=0$, luôn có hai nghiệm phân biệt, và $x_3+x_4=\frac{\ln (9a)}{\ln b}$. Điều kiện $(x_1+x_2)(x_3+x_4)<3$ cho $\frac{\ln (9a)}{\ln a}<3\Rightarrow 9a<a^3\Rightarrow a>3\Rightarrow a\ge 4$. Với mỗi $a$, cần $b>a^2$ nên $b\ge a^2+1$, khi đó $S=3a+2b\ge 3a+2(a^2+1)$. Với $a=4$: $S\ge 12+34=46$; với $a=5$: $S\ge 67$ (tăng dần). Vậy giá trị nhỏ nhất $S=46$ tại $(a,b)=(4,17)$, kiểm tra: $17>16$ thỏa.