Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương bất kì thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{5}}a={\log }_5(ab)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\sqrt{5}}a=\frac{{\log }_{5}a}{{\log }_5\sqrt{5}}=\frac{{\log }_{5}a}{1/2}=2{\log }_{5}a={\log }_5{a}^2$. Theo giả thiết ${\log }_5{a}^2={\log }_5(ab)$, suy ra $a^2=ab$. Vì $a>0$ nên chia hai vế cho $a$ được $a=b$. Thử lại: nếu $a=b$ thì ${\log }_{\sqrt{5}}a=2{\log }_{5}a={\log }_5{a}^2={\log }_5(ab)$, thỏa mãn. Vậy mệnh đề đúng là $a=b$.