Cho $△ABC$ có các góc $\hat{A}=60^{\circ },\hat{B}=45^{\circ }$, $b=2$. Tính độ dài cạnh $a,c$, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$, với $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

- Cạnh $a$: $a=b\cdot \frac{\sin A}{\sin B}=2\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$.

- Cạnh $c$: $c=b\cdot \frac{\sin C}{\sin B}=2\cdot \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{12}+2}{2}=\sqrt{3}+1$.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$.

- Diện tích: $S=\frac{abc}{4R}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

Kiểm tra: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot (\sqrt{3}+1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$, khớp kết quả.

Vậy $a=\sqrt{6}$, $c=\sqrt{3}+1$, $R=\sqrt{2}$, $S=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.