Cho biểu thức $f(x)=(1+x)+(1+2x{)}^2+(1+3x{)}^3+\dots +(1+nx{)}^n$ được khai triển thành $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+2C_n^2+2^2{C}_n^3+\dots +2^{n-1}{C}_n^n=3280$. Tính $S=10\sqrt{a_0+a_1+\dots +a_n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Tìm n. Theo nhị thức Newton, với k từ 1 đến n ta có:
$$C_n^1+2C_n^2+2^2{C}_n^3+\dots +2^{n-1}{C}_n^n=\sum _{k=1}^n{2}^{k-1}{C}_n^k=\frac{1}{2}\left(\sum _{k=0}^n{2}^k{C}_n^k-1\right)=\frac{(1+2{)}^n-1}{2}=\frac{3^n-1}{2}.$$
Suy ra $\frac{3^n-1}{2}=3280\Rightarrow 3^n=6561=3^8\Rightarrow n=8$.
Bước 2: Tổng các hệ số. Với $f(x)=(1+x)+(1+2x{)}^2+\dots +(1+8x{)}^8$, tổng $a_0+a_1+\dots +a_n=f(1)$:
$$f(1)=\sum _{k=1}^8(1+k{)}^k=2+3^2+4^3+5^4+6^5+7^6+8^7+9^8.$$
Tính từng số: $2+9+64+625+7776+117649+2097152+43046721=45269998$.
Bước 3: Kết luận:
$$S=10\sqrt{45269998}\approx 67283,3.$$
Vậy $S=10\sqrt{45269998}\approx 67283,3$. Đây là lời giải do AI thực hiện vì nguồn không có đáp án chính thức.