Tính tổng các nghiệm của phương trình $\frac{1}{8}{\log }_{\sqrt{2}}^{3}x-{\log }_{\frac{1}{2}}^{2}x-3{\log }_{2}x+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x>0$ (điều kiện $x>0$). Khi đó ${\log }_{\sqrt{2}}x=2{\log }_{2}x=2t$ và ${\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x=-t$. Phương trình trở thành $$\frac{1}{8}(2t{)}^3-(-t{)}^2-3t+3=0\iff t^3-t^2-3t+3=0.$$ Phân tích: $t^2(t-1)-3(t-1)=(t-1)(t^2-3)=0$, nên $t=1$ hoặc $t=\pm \sqrt{3}$ (đều thỏa $t$ bất kỳ vì $x=2^t>0$ luôn hợp lệ). Vậy ba nghiệm là $x_1=2^1=2$, $x_2=2^{\sqrt{3}}$, $x_3=2^{-\sqrt{3}}$. Tổng các nghiệm: $$S=2+2^{\sqrt{3}}+2^{-\sqrt{3}}.$$ Tính gần đúng: $\sqrt{3}\approx 1.7320508$, $2^{\sqrt{3}}=e^{\sqrt{3}\ln 2}=e^{1.2005661}\approx 3.3219957$, $2^{-\sqrt{3}}\approx 0.3010239$. Vậy $S\approx 2+3.3219957+0.3010239=5.6230196\approx 5.62302$ (lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn).