Cho hàm số $f(x)={\sin }^{2}x$. Tính $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)+f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)+\dots +f^{\prime }\left(\frac{\pi }{12}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\sin }^{2}x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Do đó tổng cần tính là $S={\sum }_{k=2}^{12}\sin \left(\frac{2\pi }{k}\right)$. Tính từng số hạng: $\sin \pi =0$; $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254$; $\sin \frac{\pi }{2}=1$; $\sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }\approx 0,9510565$; $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254$; $\sin \frac{2\pi }{7}\approx 0,7818315$; $\sin \frac{\pi }{4}\approx 0,7071068$; $\sin \frac{2\pi }{9}=\sin 40^{\circ }\approx 0,6427876$; $\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }\approx 0,5877853$; $\sin \frac{2\pi }{11}\approx 0,5406408$; $\sin \frac{\pi }{6}=0,5$. Cộng lại: $S\approx 7,4432593$. Theo yêu cầu đề (lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn), kết quả là $S\approx 7,44325$.