Cho dãy số $(u_n)$ với $\{\begin{array}{l}{u}_1=\sqrt{2026}\\ u_{n+1}=(n+2)u_n\end{array}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị $S_{10}=\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\dots +\frac{10}{u_{10}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=(n+2)u_n$ với $u_1=\sqrt{2026}$, ta có $u_n=u_1\cdot 3\cdot 4\cdots (n+1)=\sqrt{2026}\cdot \frac{(n+1)!}{2}$.
Do đó $\frac{k}{u_k}=\frac{2k}{\sqrt{2026}(k+1)!}=\frac{2}{\sqrt{2026}}\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right)$ vì $\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}=\frac{k}{(k+1)!}$.
Tổng $S_{10}=\frac{2}{\sqrt{2026}}\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{11!}\right)=\frac{2}{\sqrt{2026}}\cdot \frac{39916799}{39916800}$.
Vì $\sqrt{2026}\approx 45,0111105$ nên $S_{10}\approx 0,04443345$, làm tròn 5 chữ số thập phân: $S_{10}\approx 0,04443$.