Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$, có $y^{\prime }=m-\frac{1}{x^2}$. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $m>0$; khi đó $y^{\prime }=0\iff x^2=\frac{1}{m}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}$.

Với $x=\frac{1}{\sqrt{m}}$: $y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}>0$ nên đây là điểm cực tiểu $\left(\frac{1}{\sqrt{m}},2\sqrt{m}\right)$ vì $y=m\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}+\sqrt{m}=2\sqrt{m}$.

Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y=mx$, tức $mx-y=0$.

Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên:
$$d=\frac{\left|m\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}-2\sqrt{m}\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}.$$

Theo đề bài $d=\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}$:
$$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}\Rightarrow \frac{m}{m^2+1}=\frac{1}{\sqrt{2026}}\Rightarrow m^2-\sqrt{2026}m+1=0.$$

Phương trình này có biệt thức $\Delta =2026-4=2022>0$ và hai nghiệm đều dương (tích nghiệm bằng 1), thỏa mãn điều kiện $m>0$. Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn, và tổng của chúng theo định lý Vi-ét là:
$$S=\sqrt{2026}\approx 45,01111.$$