Cho các hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ với $a$, $b$ là những số thực dương khác 1 có đồ thị như hình vẽ.



Đường thẳng $y=m$ cắt trục tung, đồ thị các hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ lần lượt tại các điểm $H,M,N$ biết rằng $HM=2MN$ và $a=2b$. Tính tổng $S=a^2+b^2$.