Cho các hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ (với $a,b,c$ là các số thực dương khác 1) có đồ thị lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$ như hình bên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$, $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$: cơ số càng gần 1 thì $\ln k$ càng gần 0, giá trị ${\log }_{k}x$ càng gần 0 (đồ thị càng cao). Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$ nên $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Kết luận: a) Đúng ($c>1$ nên đồng biến). b) Sai ($0<a<1$). c) Đúng (mọi ${\log }_{k}x$ đi qua $(1;0)$). d) Đúng ($b<a<1<c$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ là đồ thị hàm đồng biến nên $c>1$, do đó $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(C_1)$ nghịch biến nên $0<a<1$, không thỏa $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mọi hàm $y={\log }_{k}x$ đều đi qua điểm $(1;0)$ vì ${\log }_{k}1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ đồng biến nên $c>1$; $(C_1),(C_2)$ nghịch biến nên $0<a,b<1$. Với $x>1$ ta có $\ln x>0$ và ${\log }_{k}x=\frac{\ln x}{\ln k}$ với $\ln k<0$. Khi cơ số càng gần 1 (từ dưới), $\ln k$ càng gần 0 nên $\frac{\ln x}{\ln k}$ càng gần 0, tức đồ thị càng cao. Trên hình, tại $x>1$, $(C_1)$ nằm trên $(C_2)$, do đó $a$ gần 1 hơn $b$, tức $b<a<1$. Vậy $b<a<1<c$.