Cho đa giác đều 36 đỉnh $A_1{A}_2\dots A_{36}$ nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$. Chọn ba điểm bất kì từ 36 đỉnh của đa giác đều trên. Có bao nhiêu cách chọn để ba điểm đó là ba đỉnh của một tam giác vuông có diện tích bằng một số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn $(O;\sqrt{2})$ thì cạnh huyền là đường kính. Có 18 cặp đỉnh đối nhau $(A_i,A_{i+18})$, mỗi cặp cho cạnh huyền $AB=2R=2\sqrt{2}$. Gọi $C$ là đỉnh thứ ba, góc ở tâm nuốt cung $AC$ là $\alpha =\frac{k\pi }{18}$ với $k\in \{1,2,\dots ,35\}$, $k\ne 18$. Hai cạnh góc vuông là $2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}$ và $2\sqrt{2}\cos \frac{\alpha }{2}$, nên diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}\cdot 2\sqrt{2}\cos \frac{\alpha }{2}=2\sin \alpha =2\sin \frac{k\pi }{18}$. Để $S$ nguyên cần $\sin \frac{k\pi }{18}\in \left\{\frac{1}{2},1\right\}$ (các giá trị khác của $\sin \frac{k\pi }{18}$ đều vô tỉ). Với $\sin \frac{k\pi }{18}=\frac{1}{2}$: $k\in \{3,15,21,33\}$ cho $S=1$. Với $\sin \frac{k\pi }{18}=1$: $k\in \{9,27\}$ cho $S=2$. Lưu ý phải xét cả hai phía của đường kính: các giá trị $k$ và $36-k$ cho cùng diện tích nhưng đỉnh thứ ba khác nhau, nên mỗi đường kính có 6 lựa chọn đỉnh thứ ba. Vậy tổng số cách chọn là $18\times 6=108$.