Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1;u_{n+1}=-\frac{1}{2}{u}_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có $u_{n+1}=-\frac{1}{2}{u}_n$ nên là cấp số nhân với công bội $q=-\frac{1}{2}$, do đó a sai (không phải $q=\frac{1}{2}$). $u_3=u_1{q}^2=1\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ne -\frac{1}{4}$ nên b sai. Vì $q<0$, các số hạng đổi dấu luân phiên: $u_1=1>0$, $u_2=-\frac{1}{2}<0$, $u_3=\frac{1}{4}>0,\dots$ nên dãy có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm, c đúng. Vì $|q|=\frac{1}{2}<1$, tổng cấp số nhân hội tụ: ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công bội là $q=-\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1{q}^2=\frac{1}{4}>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $q<0$, dãy đổi dấu luân phiên nên có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\lim S_n=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$.