Cho $f(x)$ là đa thức thỏa mãn ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-27}{x-3}=9$. Tính giới hạn $L={\lim }_{x\to 3}\left[2f(x)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-27}{x-3}=9$ suy ra $f(3)=27$ và $f^{\prime }(3)=9$. Đặt $g(x)=2f(x)-19x+3$, khi đó $g(3)=2\cdot 27-57+3=0$ và $g^{\prime }(3)=2f^{\prime }(3)-19=18-19=-1$. Ta có $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}=\frac{x^2-3x-(x-3)}{(x-3)x(x-3)}$... kiểm tra lại: $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x(x-3)}=\frac{x-1}{x(x-3)}$. Do đó $L={\lim }_{x\to 3}\frac{g(x)(x-1)}{x(x-3)}={\lim }_{x\to 3}\frac{g(x)-g(3)}{x-3}\cdot \frac{x-1}{x}=g^{\prime }(3)\cdot \frac{2}{3}=-1\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án D.