Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình $y=\frac{10}{3}x-x^2$, $y=\{\begin{array}{ll}-x& \text{khi }x\le 1\\ x-2& \text{khi }x>1\end{array}$. Diện tích của $(H)$ bằng?

(AI giải đề cho tôi)
Hình $(H)$ giới hạn bởi parabol $y=\frac{10}{3}x-x^2$ (nằm trên) và đường gãy khúc $y=-x$ khi $x\le 1$, $y=x-2$ khi $x>1$ (nằm dưới).

Giao điểm với $y=-x$: $\frac{10}{3}x-x^2=-x\iff x^2-\frac{13}{3}x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{13}{3}>1$ (loại). Giao điểm với $y=x-2$: $\frac{10}{3}x-x^2=x-2\iff 3x^2-7x-6=0\iff x=3$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$ (loại vì cần $x>1$). Vậy miền tính từ $x=0$ đến $x=3$, đổi công thức tại $x=1$.

Trên $[0;1]$: parabol nằm trên đường $y=-x$.
$$S_1={\int }_0^1\left(\frac{13}{3}x-x^2\right)dx={\left[\frac{13}{6}{x}^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{13}{6}-\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.$$

Trên $[1;3]$: parabol nằm trên đường $y=x-2$.
$$S_2={\int }_1^3\left(\frac{7}{3}x-x^2+2\right)dx={\left[\frac{7}{6}{x}^2-\frac{x^3}{3}+2x\right]}_1^3=\left(\frac{21}{2}-3\right)-\left(\frac{7}{6}-\frac{1}{3}+2\right)=\frac{15}{2}-\frac{17}{6}=\frac{14}{3}.$$

Vậy $S=S_1+S_2=\frac{11}{6}+\frac{14}{3}=\frac{39}{6}=\frac{13}{2}$ (đơn vị diện tích).